ข้อผิดพลาดทางพีชคณิต

ข้อผิดพลาดทางพีชคณิต (1)

ในหัวข้อนี้ก็จะสรุปข้อผิดพลาดทางพีชคณิตทั้งหมดที่ดิฉันเคยพบ ไม่ว่าจากที่ใดก็ตาม โดยได้รวบรวมบางส่วนจาก website ต่างๆด้วย ซึ่งจะให้เอกสารอ้างอิงทั้งหมดไว้ภายหลัง หากผู้อ่านเคยพบข้อผิดพลาดที่น่าสนใจอื่นๆ และคิดว่าสมควรที่จะกล่าวถึงกรุณาติดต่อมาที่ดิฉันได้นะคะ ยินดีรับฟังข้อแนะนำเสมอค่ะ เริ่มจากของที่ง่ายที่สุดก่อนนะคะ

1. การหารด้วยศูนย์

ทุกคนที่มีพิ้นคณิตศาสตร์อยู่บ้าง ควรรู้อยู่แล้วว่าถ้าเราเอาศูนย์ตั้งแล้วหารด้วยตัวเลขใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์เสมอ

ข้อความข้างต้นดูยุ่งๆ หากเราเขียนข้อความดังกล่าวข้างต้นโดยใช้สัญญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เข้ามาช่วยนิดหน่อย จะได้ข้อความง่ายๆ ดูสบายตาขึ้นแบบนี้

0/a = 0 ถ้า a เป็นตัวเลขอะไรก็ได้ที่ไม่เท่ากับ 0

ตรงนี้ไม่ใช่ปัญหา เพราะดูเหมือนทุกคนจะรู้อยู่แล้ว แต่

a/0 ล่ะ ทุกคนคิดว่าเท่ากับเท่าไร

ตัวอย่างที่ประสบพบเจอมาก็มีตั้งแต่

a/0 =0 หรือ a/0 =a เลยทีเดียว

สำหรับผู้ที่ศึกษาคณิตศาสตร์ ให้จำไว้ว่า เราไม่นิยามการหารด้วยศูนย์ แต่สำหรับบุคคลคนทั่วไป ให้พิจารณาแบบนี้

กำหนดก่อนว่า a ไม่เท่ากับ 0

โดยปกติแล้วถ้าเรามี a/b=c เราจะได้ a=bc ใช่หรือไม่

หาก b=0 แปลว่า a/b = a/0 = c

สำหรับผู้ที่คิดว่า a/0 =0 นั้นจะได้ว่า c=0 ด้วย ซึ่งทำให้ a=bc=0 ขัดแย้งกับที่กำหนดไว้ว่า a ไม่เท่ากับ 0

สำหรับผู้ที่คิดว่า a/0 =a นั้นจะได้ว่า c=a ด้วย ซึ่งทำให้ a=bc=ba= 0 อยู่ดี ข้อความนี้ขัดแย้งกับที่กำหนดไว้ว่า a ไม่เท่ากับ 0 เช่นกัน

ถึงจุดนี้อาจมีผู้แย้งว่า อ้าวแล้วถ้า a=0 ล่ะ 0/0 ได้ศูนย์หรือเปล่า ก็ไหนตั้งแต่แรกกำหนดไว้ว่าถ้าเอาศูนย์ตั้งแล้วหารด้วยอะไรก็ตามควรเป็นศูนย์ใช่ไหม แต่ไม่ใช่ค่ะ เมื่อเรากำหนดตรงนั้น เราได้กำหนดไว้แล้วว่าไม่ให้หารด้วยศูนย์อีก เป็นอันหมดกัน เราไม่นิยามเลยว่าการเอาศูนย์ไปหารอะไรแล้วมันจะมีค่าเท่ากับอะไร เพราะมันมีข้อขัดแย้งอยู่ตลอดนี่ล่ะ

สำหรับผู้ที่ผ่านคณิตศาสตร์สมัยมัธยมมาแล้วอาจจะเจอตัวอย่างยอดฮิตต่อไปนี้

ขั้นที่ 1 สมมติให้

ขั้นที่ 2 นำ a ไปคูณทั้งสองข้าง จะได้

a^2=ab

ขั้นที่ 3 นำ b^2 ไปลบออกทั้งสองข้าง จะได้

a^2-b^2 = ab-b^2

ขั้นที่ 4 แยกตัวประกอบทั้งสองข้าง จะได้

(a-b)(a+b)=(a-b)b

ขั้นที่ 5 อ่ะฮ่า มี (a-b) เป็นตัวประกอบร่วมนี่นา นำ (a-b) มาหารตลอดทั้งสองข้าง จะได้

a+b=b

ขั้นที่ 6 แต่จากที่กำหนดตั้งแต่ขั้นที่ 1 ที่ว่า a=b จึงทำให้ a+b = a+a =2a นำ 2a ไปแทนในสมการในขั้นที่ 5 จะได้

2a=a

ขั้นที่ 7 นำ a ไปหารตลอดจะได้

2=1

ซึ่ง 2 ย่อมไม่เท่ากับ 1 แสดงว่าเราต้องทำอะไรผิดแน่นอน ตอนนี้รู้แล้วสิว่าทำผิดตรงไหน ก็ผิดที่ขั้นตอนที่ 5 นั่นแหละ เพราะเรานำ (a-b) ไปหารตลอดตรงนั้น แต่เนื่องจาก a=b ตามที่กำหนดไว้ในขั้นที่ 1 จึงได้ว่า (a-b)=0 ก็เท่ากับว่าเรานำศูนย์ไปหารตลอดนั่นเอง

การนำศูนย์ไปหารเป็นสิ่งเดียวที่ผิดในกระบวนการคิดตั้งแต่ขั้นที่ 1-7 ข้างต้น แต่ก็ทำให้นำไปสู่สิ่งที่ผิดได้ จึงควรจำไว้เป็นอย่างยิ่งว่าห้ามนำศูนย์ไปหารโดยเด็ดขาดค่ะ

สำหรับผู้ที่อ่านข้างบนทั้งหมดแล้วไม่รู้เรื่องเลย ในขั้นแรกให้ลองแทนตัวอักษร a และ b ด้วยเลข 1 ทั้งคู่เลยค่ะ ถ้ายังไม่รู้เรื่องอีกก็ถามมาได้เลยค่ะ

a=b

2. การลืมวงเล็บ ใส่วงเล็บผิดที่ ฯลฯ (1)

หัวข้อนี้ดูท่าจะยาวเพราะมีผิดพลาดกันหลากหลายแบบ หลายอารมณ์เหลือเกิน เพียงแต่โดยรวมๆแล้วจะยุ่งอยู่กับวงเล็บเท่านั้นเอง ซึ่งคงจะต้องใช้เวลาเขียนนานหน่อยเท่านั้น (เพราะมันเยอะจริงๆ) การใส่วงเล็บให้ถูกที่เป็นหัวใจสำคัญของการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เพราะมันอาจทำให้ผลลัพธ์ที่ได้เปลี่ยนแปลงไปอย่างสิ้นเชิง จึงต้องใส่ใจและรอบคอบตรงจุดนี้ เนื่องจากมันไม่ได้อาศัยความรู้ความเข้าใจที่ยุ่งยากซับซ้อนแต่อย่างใด

อันแรกที่ดูเหมือนไม่น่าผิดแต่ก็ผิด คือการลืมยกกำลังสองของทุกตัวที่อยู่ในวงเล็บ เช่น

อยากหา (2x)² ที่เห็นบ่อยๆคือการยกกำลังสองเข้าไปในวงเล็บแต่ลืมยกกำลังทั้งสองตัวแล้วเขียนเป็นแบบนี้

(2x)² = 2x²

ซึ่งผิดอย่างเห็นได้ชัด ของที่ควรทำคือต้องยกกำลังทั้งสองตัว แบบนี้

(2x)² = 2²x²= 4 x²

สิ่งที่เห็นบ่อยอีกแบบคือการยกกำลังของเลขติดลบ เช่น

(-2)²=-2² =-4

ซึ่งผิดเหมือนกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เนื่องจากยกกำลังแต่ตัวหลัง ซึ่งติดกับเลขยกกำลังแต่ไม่สนใจเลขลบด้านหน้าในกรณีนี้ของที่ควรทำควรจะเป็นดังนี้

(-2)²=(-2)*(-2) = 4

ทั้งนี้การลืมยกกำลังรวมไปถึง
การลืมถอดรากที่สองของเลขทุกตัวที่อยู่ในเครื่องหมายราก ด้วย เช่น

(2x)^1/2 = 2x^1/2

ซึ่งผิดเช่นกัน ต้องไม่ลืมที่จะถอดรากของทั้งสองตัวในวงเล็บ นั่นคือ

(2x)^1/2=2^1/2x^1/2

ต่อไปเป็นการลืมใส่ีวงเล็บในการลบ เช่นเราต้องการลบ
x²-5x+3 จาก x³+x²+5x+3 สิ่งที่ควรเขียนคือ

x³+x²+5x+3 - (x²-5x+3) = x³+x²+5x+3 - x²+5x-3= x³+10x

โปรดสังเกตวงเล็บที่ใส่ไว้ซึ่งไม่ี่ควรลืม เนื่องจากหากลืมใส่วงเล็บสิ่งที่จะได้คือ

x³+x²+5x+3 - x²-5x+3= x³+6

ซึ่งจะเห็นว่าไม่ตรงกับความเป็นจริงอย่างมาก

สำหรับการลืมวงเล็บนั้นยังมีอีกมาก บางส่วนจะถูกจัดให้เป็นความผิดพลาดทางแคลคูลัส จึงขอยกไปกล่าวถึงในส่วนของแคลคูลัสต่อไป

3. การกระจายเข้าไปในวงเล็บแบบผิดๆ หรือการคูณเข้าในวงเล็บแบบไม่ถูกต้อง (2)

อันนี้จะว่าไปแล้วก็เป็นส่วนหนึ่งของการยุ่งกับวงเล็บแบบผิดๆด้วยเช่นกัน แต่ขอแยกออกมาต่างหากดีกว่า จะได้เห็นกันชัดๆ

เช่นว่าการกระจาย 4(x²-3) แทนที่จะคูณเข้าไปในวงเล็บทั้งสองพจน์ แบบนี้

4(x²-3)=4x² -12
กลับกลายเป็น

4(x²-3)=4x² -3

(ลืมคูณพจน์หลังด้วย 4) เป็นต้น

แล้วยังมีการพยายามทำของง่ายให้เป็นของยาก ซึ่งดูๆแล้วคิดว่าจะพยายามทำให้ตนเองคิดเลขน้อยลง แต่ดูแล้วสับสนและไม่แปลกใจที่ทำผิดเลย

แบบที่ 1

4(x²-3)² = (4x² -12)² = 16x⁴ - 96x² + 144

สังเกตมั้ยว่าทำอะไรผิด แบบนี้เป็นการคูณเข้าไปในวงเล็บที่มีการยกกำลัง จริงๆแล้วที่ถูกจะต้องทำการยกกำลังก่อนจึงจะคูณกระจายเข้าไปในวงเล็บ นี่เรียกว่าแปลกน้อยแล้วนะคะ ต้องเจออีกสองแบบที่จะนำเสนอต่อไปนี้แล้วจะเข้าใจว่าดิฉันทำไมจึงว่าคนทำเกิดความสับสนในตนเองขึ้นมา

แบบที่ 2

4(x²-3)² = (4x² -36)² = 16x⁴ - 288x² + 1296

อันนี้คิดว่านำเข้าไปในวงเล็บแล้วเกิดรู้สึกว่าจะต้องยกกำลังสองของที่อยู่ในวงเล็บ ก็ยกกำลังมันดื้อๆกระมัง ไม่ค่อยแน่ใจนักว่าคนทำคิดอะไรอยู่ คนอ่านก็งงได้อย่างเดียวค่ะงานนี้ แบบสุดท้ายนี่เห็นชัดกว่าคะ ว่าสับสนในกระบวนวิธีจริงๆไม่ได้มั่วสนิทเหมือนแบบที่สอง

แบบที่ 3

4(x²-3)² = (16x² -48)² = 256x⁴ - 1536x² + 2304

แบบนี้เห็นชัดว่าคนทำคิดว่าจะต้องยกกำลังสองก่อนจึงจะสามารถนำเข้ามาคูณในวงเล็บ จริงๆแล้วเขาเข่าใจสับสนแบบกลับตาลปัตร คือถ้าอยากจะทำแบบนี้ จริงๆควรทำแบบนี้มากกว่า

4(x²-3)² = (2x² -6)² = 4x⁴ - 24x² + 36

คือถ้าจะใส่เข้าไปในวงเล็บที่มีการยกกำลังสอง คงต้องถอดรากที่สองออกก่อน เพื่อให้เมื่อยกกำลังสองแล้วจะได้ออกมาเท่าเดิม หรือจะให้ดี ทำแบบที่ง่ายที่สุด

4(x²-3)² = 4(x⁴ -6x² + 9) = 4x⁴ - 24x² + 36

คือยกกำลังสองเสียก่อนแล้วค่อยคูณกระจายเข้าไปธรรมด๊าธรรมดา อย่าลืมคูณทุกๆพจน์ที่มีอยู่ในวงเล็บล่ะคะ แค่นี้ก็ทำถูกแล้ว เห็นมั้ยว่าคณิตศาสตร์ง่ายนิดเดียวจริงๆ (โฆษณาอีกแล้ว)

4. การกระจายเข้าไปในวงเล็บแบบผิดๆ (3)

สืบเนื่องมาจากกระจายเข้าไปในวงเล็บแบบผิดๆที่เพิ่งเขียนเสร็จไป ก็นึกได้ว่ายังมีอีก ตอนแรกว่าจะเขียนต่อในตอนที่แล้วก็ติว่ามันจะยาวไปก็เลยแยกออกมาเป็นอีกหนึ่งหัวข้อค่ะ คือเนื่องจากเราชินกับการกระจายเข้าไปในวงเล็บแบบต่างๆมากเกินไป เราก็ติดไปกระจายกับของที่ทำไม่ได้เป็นจำนวนมาก (บางส่วนที่จะไปพบในแคลคูลัสจะขอไม่กล่าวถึงในที่นี้นะคะ) เช่น

แบบที่ 1 การกระจายกำลังสองเข้าไปในวงเล็บ

(x+y)² = x² + y²

นี่แบบนี้เลย คงไม่ต้องบอกว่าผิดยังไงและที่ถูกควรจะเป็นอะไรนะจ๊ะ คิดเข้าข้างจำเลยก็คิดว่าคงกระจายเข้าไปในวงเล็บมันไปหน่อย

ถ้ายังยืนยันว่าฉันไม่ผิด ก็ลองให้ x=y=1 ดู จะเห็นได้ชัดว่า

(1+1)² = 4 ไม่เท่ากับ 1² +1² ซึ่งเท่ากับ 2 จ้ะ

ทีนี้เชื่อหรือยังว่า ผิด! กระจายกำลังสองเข้าไปในวงเล็บไม่ได้

ทั้งนี้รวมไปถึงการยกกำลังอันดับอื่นๆด้วย กระจายเข้าไปในวงเล็บเฉยๆไม่ได้เป็นอันขาด

แบบที่ 2 การกระจายรากที่สองเข้าไปในวงเล็บ

(x+y)^(1/2)= x^(1/2) + y^(1/2)

อันนี้คงไม่อธิบายซ้ำ แถมอีกหน่อยว่าถอดรากอันดับที่เท่าไหร่ก็กระจายไม่ได้โดยเด็ดขาดเช่นกันคะ

แบบที่ 3 การแยกเศษส่วนออกเป็น 2 ชิ้นหน้าตาเฉย

อันนี้ขอบอกว่าเห็นบ่อยมากในระดับอุดมศึกษานี่ ซึ่งไม่น่าเชื่อเลยจริงๆ ทำแบบนี้เลยค่ะ

(a+b)/(c+d) = a/c+b/d

อันนี้ผู้สอนคงได้แต่อึ้ง เศร้าและหดหู่ใจทำอะไรไม่ถูก พอเราโวยวายก็รู้สึกว่าจะไม่มีใครยอมรับแต่โดยดี แล้วใครเขียนมาในข้อสอบถ้าไม่ใช่พวกเธอ ฮึ?

จึงขอจบการบรรยายวันนี้แต่เพียงเท่านี้ค่ะ ขอบพระคุณค่ะที่ทนอ่านมาเป็นเวลานาน ไว้เจอกันใหม่ในโอกาสหน้านะคะ วันนี้พอแค่นี้ ขอพักให้หายละเหี่ยใจก่อน

5. การถอดรากที่สอง

อันนี้เจอในข้อสอบกลางภาคฤดูร้อนนี้เองค่ะ พอดีได้สอนวิชาแคลคูลัสแล้วพบว่า ปัญหาส่วนหนึ่งที่ทำให้เด็กนักศึกษาไม่สามารถเรียนแคลคูลัสได้ นอกเหนือไปจากความไม่ใส่ใจและอื่นๆแล้ว คือปัญหาทางพีชคณิตพื้นฐานอีกด้วย

เมื่อเด็กต้องการหาปริพันธ์ (integral นั่นแหละ) ก็หวังจะให้ง่ายไว้ก่อน ขอเขียน \int แทนเครื่องหมายอินทิเกรทหรือถั่วงอกที่เรียกๆกันนะคะ

เราให้หา
(อันนี้โดนดัดแปลงให้ง่ายขึ้นนิดหน่อยเพราะที่ทำจริงๆเป็นปริพันธ์บนพิกัดเชิงขั้ว)

\int (4-r²)^1/2 r dr

เด็กนักศึกษาแสนรักของเดี๊ยนก็เขียนว่า

\int (4-r²)^1/2 r dr
= \int (2-r) r dr
= \int (2r-r²) dr
= (2r²)/2-(r³)/3 + c

เย้ เก่งมาก ถอดรากทีละตัวเลยเหรอหนู ทำไมอินทิเกรทด้วยการแทนค่ามันยากขนาดที่จะต้องถอดรากทีละตัวแล้วอินทิเกรทฟังก์ชันพหุนามเลยเหรอจ๊ะหนูจ๋า

สอนจนเหนื่อยนะว่าอุตส่าห์มี r อยู่นอกสแควร์รูทน่ะดีแค่ไหน ให้สมมติ
u = 4-r²
ซะสำหรับคนที่ยังไม่คล่อง แล้วหา du = -2rdr ใช่มั้ยล่ะ จึงได้ว่า rdr = du/(-2) จากอินทิเกรทที่ดูเหมือนจะยุ่งยากด้านบนก็จะกลายเป็น

\int u^1/2 du / (-2)
= \int u^1/2/(-2) du
= -1/2 u^3/2 /(3/2) + c
= -1/3 u^3/2 + c

เสร็จแล้วก็แทนค่า u = 4-r² กลับลงไปแค่นั้นเอง จะได้

\int (4-r²)^1/2 r dr
= -1/3 (4-r²)^3/2 + c

มันยากตรงไหนนะ ปัญหาอยู่ที่ไม่แม่นพีชคณิตตั้งแต่ต้น แล้วก็มั่ว

สรุปการถอดราก(อีกที) จะมาถอดทีละตัวไม่ได้นะคะ ถ้าไม่เข้าใจจากหัวข้อก่อนหน้านี้ เรื่องกระจายวงเล็บแบบผิดๆ ก็ให้คิดง่ายๆแบบนี้ ถ้่าถอดได้จะเกิดอะไรขึ้น

(4-1)^1/2 =(4)^1/2 -(1)^1/2 =2-1 =1

แต่ (4-1)^1/2 = (3)^1/2 ดังนั้น 1= (3)^1/2

จริงหรือไม่ ถ้าเห็นว่าไม่จริงก็เลิกทำได้แล้ว

ยังมีพวก log(x+y) ln(x+y) อีกที่เด็กมีความสับสนสูง คงจะจำนิยามอะไรไม่ได้เลย

ไหนใครว่า log(x+y) = log(x)+log(y) ยกมือขึ้น

โอเคเลย มีเยอะเชียว อิอิ เอาไว้คราวหน้าอารมณ์ดีจะเล่าให้ฟังนะจ๊ะ

6. การกระจายเข้าไปในวงเล็บแบบผิดๆ (4)

ต้องเขียนอีกจนได้เพราะข้อสอบปลายภาควิชาแคลคูลัสเจอเยอะเลย นิยามของ log คืออะไรเอ่ย กล่าวอย่างง่ายๆก็คือฟังก์ชันที่ส่ง x ไป y โดยที่ x= (ฐานของ log) ยกกำลัง y

ฟังดูเหมือนยากนะคะ ยกตัวอย่าง log ฐานสิบก็แล้วกัน

y= log x แปลว่า x=10^y

ดังนั้น log (x+y) แปลว่าอะไร สมมติให้ log (x+y) = z
ก็จะได้ x+y=10^z
ปัญหาอยู่ที่ log x + log y มีค่าเท่ากับเท่าไร เท่ากับ z หรือไม่ สมมติให้ log x = a และ log y = b แปลว่า

x=10b y=10^a

จะได้ xy = 10^a 10^b= 10^(a+b)
จึงทำให้ log (xy) = a+b = log x+ log y แทนที่จะเป็น log(x+y) = log(x)+log(y)

จริงๆแล้วไม่ยากเลยที่จะจำว่า log(x+y) ไม่เท่ากับ log(x)+log(y)
เพราะอย่างน้อยน่าจะรู้ว่า log_b1 = 0 (ไม่ว่าจะเป็นลอการิทึมฐานใดก็แล้วแต่)

อ้าวทำไมล่ะ

ก็จากนิยามของ log ที่ว่า y= log_bx แปลว่า x=b^y น่ะสิ

เราเห็นชัดว่า 1=b⁰
สำหรับ b ใดๆที่ไม่เท่ากับศูนย์

ก็แล้วไงล่ะ

ก็ถ้า log(x+y)=log x+ log y เราก็จะได้ว่า log_ba สำหรับ a ที่เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆมีค่าเป็นศูนย์ ก็เพราะเราสามารถแตกให้เป็นพจน์ย่อยๆที่แต่ละพจน์มีค่าเท่ากับศูนย์ได้ เช่น

log 2 = log 1 + log 1 = 0 + 0 = 0
log 3 = log 2 + log 1 = log 1 + log 1 + log 1 = 0 + 0 + 0 = 0
ฯลฯ

คราวนี้เชื่อหรือยังว่า log(x+y) ไม่ควรมีค่าเท่า log x+ log y หากไม่มั่นใจอะไร ไม่ควรมั่ว ตั้งสติให้ดีๆ แล้วนึกถึงนิยามของมันก็จะช่วยในการจำเยอะเลย การสักแต่ว่าท่องไม่ช่วยให้อะไรดีขึ้นเลย นิยามไม่ใช่ของน่าเบื่อน่ากลัว นิยามเป็นแค่การตั้งชื่อเท่านั้น เหมือนที่พ่อแม่เราตั้งชื่อเรานั่นแหละ คิดซะแบบนี้อาจทำให้รู้สึกดีขึ้นได้ค่ะ อย่างที่บอกเป็นครั้งที่ร้อยว่าคณิตศาสตร์ไม่ยากเลยค่ะ